Как найти частоту через угловую скорость

Содержание

Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости

Угловая скорость: формула частоты вращения

Количество повторений каких-либо событий или их возникновения за одну единицу таймера называется частотой. Это физическая величина измеряется в герцах – Гц (Hz). Она обозначается буквами ν, f, F, и есть отношение количества повторяющихся событий к промежутку времени, в течение которого они произошли.

При обращении предмета вокруг своего центра можно говорить о такой физической величине, как частота вращения, формула:

В системе СИ обозначается как – с-1 (s-1) и именуется как обороты в секунду (об/с). Применяют и другие единицы вращения. При описании вращения планет вокруг Солнца говорят об оборотах в часах. Юпитер делает одно вращение в 9,92 часа, тогда как Земля и Луна оборачиваются за 24 часа.

формула угловой скорости

Равномерное движение по окружности.

Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.

Равномерное движение по окружности – это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса . Скорость точки постоянна по модулю и равна . Скорость называется линейной скоростью точки.

Период обращения – это время одного полного оборота. Для периода имеем очевидную формулу:

Частота обращения – это величина, обратная периоду:

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, . Это означает, что за время точка совершает один полный
оборот. Частота при этом получается равна: об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Движение точки по окружности. Линейная и угловая скорости точки. Центростремительное ускорение точки

blank

Частота вращения: формула

Количество повторений каких-либо событий или их возникновения за одну единицу таймера называется частотой. Это физическая величина измеряется в герцах – Гц (Hz). Она обозначается буквами ν, f, F, и есть отношение количества повторяющихся событий к промежутку времени, в течение которого они произошли.

Вращение планет вокруг Солнца

При обращении предмета вокруг своего центра можно говорить о такой физической величине, как частота вращения, формула:

где:

  • N – количество оборотов вокруг оси или по окружности,
  • t – время, за которое они были совершены.

В системе СИ обозначается как – с-1 (s-1) и именуется как обороты в секунду (об/с). Применяют и другие единицы вращения. При описании вращения планет вокруг Солнца говорят об оборотах в часах. Юпитер делает одно вращение в 9,92 часа, тогда как Земля и Луна оборачиваются за 24 часа.

Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости.

Движение по окружности.

Положение точки А, движущейся по окружности с постоянной по модулю скоростью v в любой момент времени t определяется углом φ между осью OX и радиус-ветором :

Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости:

Угловая скорость [ω] = 1 рад/с = 1 с -1 это: Отношение углового перемещения Δφ за промежуток времени Δt к этому промежутку:

  • Угловая скорость [ω] = 1 рад/с = 1 с-1 это: Отношение углового перемещения Δφ за промежуток времени Δt к этому промежутку

Кинематическое уравнение движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью :

Кинематическое уравнение движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

    • где: φ – угол, ω – угловая скорость

    Нормальное (центростремительное) ускорение: /> характеризует быстроту изменения вектора линейной скорости. Вектор />всегда направлен к центру окружности, выражается так:

    • Нормальное (центростремительное) ускорение: характеризует быстроту изменения вектора линейной скорости. Вектор всегда направлен к центру окружности, выражается так

    Период обращения (вращения) [Т] = 1 с это: Время одного оборота. Если точка совершает N обращений за время t, то:

    • Период обращения [Т] = 1 с это: Время одного оборота. Если точка совершает N обращений за время t, то

    Частота обращения (вращения) [n] = 1/c = 1 с -1 это: Сколько оборотов совершается за единицу времени = Величина равная числу оборотов в секунду:

    • Частота обращения (вращения) [n] = 1/c = 1 с-1 это: Сколько оборотов совершается за единицу времени = Величина равная числу оборотов в секунду

    Связь линейной и угловой скоростей между собой и с периодом обращения:

    Равномерное вращение

    Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

    где $(varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

    Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ($Delta varphi=2 pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

    С числом оборотов в единицу времени ($
    u) угловая скорость связана формулой:

    Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения, но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данной мгновенной величиной скорости.

    Линейная скорость вращения, частота и частота угловая

    Система вращающихся шестерен

    В технике для некоторых вращающих конструкций, например, шестерен и валов, известны их рабочие частоты μ и линейные скорости v. Тем не менее каждую из этих характеристик можно использовать для определения угловой или циклической частоты.

    Выше отмечалось, что частота μ измеряется в герцах. Она показывает количество оборотов вращающегося тела за одну секунду. Формула для нее принимает вид:

    Если сравнить это выражение с соответствующим равенством для f, то формула, как найти частоту вращения f через μ описывающая, будет иметь вид:

    Эта формула интуитивно понятна, поскольку μ показывает количество оборотов за единицу времени, а f отражает ту же самую величину, только представленную в радианах.

    Линейная скорость v связана со скоростью угловой ω следующим равенством:

    Поскольку модули величин f и ω равны, то из последнего выражения легко получить соответствующую формулу частоты вращения циклической. Запишем ее:

    Где r — радиус вращения. Заметим, что скорость v линейно растет при увеличении радиуса r, при этом отношение этих величин является константой. Последнее умозаключение означает, что если измерять циклическую частоту вращения в любой точке сечения вращающегося массивного объекта, то она будет везде одинаковой.

    Угловая скорость.

    Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1 ).

    Рис. 1. Равномерное движение по окружности

    Пусть – начальное положение точки; иными словами, при точка имела координаты . Пусть за время точка повернулась на угол и заняла положение .

    Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

    Угол , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол . Поэтому

    Сопоставляя формулы (1) и (3) , получаем связь линейной и угловой скоростей:

    Как определить угловую скорость: что это за величина?

    С физико-математической точки зрения эту величину можно определить следующим образом: это данные, которые показывают, как быстро некая точка осуществляет оборот вокруг центра окружности, по которой она движется.

    Эта, казалось бы, чисто теоретическая величина, имеет немалое практическое значение при эксплуатации автомобиля. Вот лишь несколько примеров:

    • Необходимо правильно соотносить движения, с которыми вращаются колёса при повороте. Угловая скорость колеса автомобиля, движущегося по внутренней части траектории, должна быть меньше, чем у внешнего.
    • Требуется рассчитывать, насколько быстро в автомобиле вращается коленвал.
    • Наконец, сама машина, проходя поворот, тоже имеет определённую величину параметров движения – и от них на практике зависит устойчивость автомобиля на трассе и вероятность опрокидывания.

    Формула, связывающая линейную и угловую скорости

    Линейная скорость $ar$ точки А (рис.1), которая расположена на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:

    где $ar$ – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки $A (ar)$ (рис.1). Вектор $ar$ проводят от точки, находящейся на оси вращения к рассматриваемой точке.

    Номинальная скорость вращения

    Прежде, чем дать определение этому понятию, необходимо определиться, что такое номинальный режим работы какого-либо устройства. Это такой порядок работы устройства, при котором достигаются наибольшая эффективность и надёжность процесса на продолжении длительного времени. Исходя из этого, номинальная скорость вращения – количество оборотов в минуту при работе в номинальном режиме. Время, необходимое для одного оборота, составляет 1/v секунд. Оно называется периодом вращения T. Значит, связь между периодом обращения и частотой имеет вид:

    К сведению. Частота вращения вала асинхронного двигателя – 3000 об./мин., это номинальная скорость вращения выходного хвостовика вала при номинальном режиме работы электродвигателя.

    Как найти или узнать частоты вращений различных механизмов? Для этого применяется прибор, который называется тахометр.

    Закон движения.

    Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1 , что

    Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

    Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

    Самые популярные записи

    • blankСвобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (1 126)
    • blankЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (1 084)
    • blankНаука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (1 016)
    • blankОбъединение русских земель вокруг Москвы. Создание единого Русского государства (999)

    Формула времени, за которое вращается точка по окружности заданного радиуса

    Для того, чтобы рассчитывать угловую скорость, используется следующая формула:

    • ω (читается «омега») – собственно вычисляемая величина.
    • ∆φ (читается «дельта фи») – угол поворота, разница между угловым положением точки в первый и последний момент времени измерения.
    • ∆t
      (читается «дельта тэ») – время, за которое произошло это самое смещение. Точнее, поскольку «дельта», это означает разницу между значениями времени в момент, когда было начато измерение и когда закончено.

    Приведённая выше формула угловой скорости применяется лишь в общих случаях. Там же, где речь идёт о равномерно вращающихся объектах или о связи между движением точки на поверхности детали, радиусом и временем поворота, требуется использовать другие соотношения и методы. В частности, тут уже будет необходима формула частоты вращения.

    Угловая скорость измеряется в самых разных единицах. В теории часто используется рад/с (радиан в секунду) или градус в секунду. Однако эта величина мало что означает на практике и использоваться может разве что в конструкторской работе. На практике же её больше измеряют в оборотах за секунду (или минуту, если речь идёт о медленных процессах). В этом плане она близка к частоте вращения.

    Примеры решения задач по теме «Угловая скорость»

    Задание Определить угловую скорость вращения конического маятника на невесомой нерастяжимой нити длиной 5 см, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Нить образует вертикалью угол 60 градусов.
    Решение Обозначим: – период вращения, – угловая скорость, – угол поворота, – время.
    1) Найдем период колебаний математического маятника:

    2) Найдем угловую скорость:

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    Центростремительное ускорение.

    Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5) :

    С учётом формул (5) имеем:

    Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

    где – радиус-вектор вращающейся точки.

    Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1 ). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

    Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

    Выразим угловую скорость из (4)

    и подставим в (8) . Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

    Помощь

    © 2021 StudyWay. Все права защищены.

    Примеры решения задач

    Задание. Движение тела с неподвижной осью задано уравнением $varphi=2 t-4 t^$, $(varphi)$ в рад, t в сек. Начало вращения при t=0 c. Положительным считают углы указанные направлением стрелки (рис.2). В каком направлении ( относительно часовой стрелки поворачивается тело) в момент времени t=0,5 c.

    Решение. Для нахождения модуля угловой скорости применим формулу:

    Используем заданную в условии задачи функцию $varphi(t)$, возьмем производную от нее по времени, получим функцию $omega(t)$:

    Вычислим, чему будет равна угловая скорость в заданный момент времени (при t=0,5 c):

    Ответ. В заданный момент времени тело имеет угловую скорость равную нулю, следовательно, она останавливается.

    Формула угловой скорости не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

    Задание. Скорости вращения тела заданы системой уравнений:

    где $ar$ и $ar$ – единичные ортогональные векторы. На какой угол $(varphi)$ поворачивается тело за время равное 3 с?

    Решение. Определим, какова функция, которая связывает модуль скорости вращения тела и время (t) ($omega(t)$). Так как вектора $ar$ и $ar$ перпендикулярны друг другу, значит:

    Переход от угловой к линейной скорости

    Существует различие между линейной скоростью точки и угловой скоростью. При сравнении величин в выражениях, описывающих правила вращения, можно увидеть общее между этими двумя понятиями. Любая точка В, принадлежащая окружности с радиусом R, совершает путь, равный 2*π*R. При этом она делает один оборот. Учитывая, что время, необходимое для этого, есть период Т, модульное значение линейной скорости точки В находится следующим действием:

    ν = 2*π*R / Т = 2*π*R* ν.

    Так как ω = 2*π*ν, то получается:

    Следовательно, линейная скорость точки В тем больше, чем дальше от центра вращения находится точка.

    К сведению. Если рассматривать в качестве такой точки города на широте Санкт-Петербурга, их линейная скорость относительно земной оси равна 233 м/с. Для объектов на экваторе – 465 м/с.

    Числовое значение вектора ускорения точки В, движущейся равномерно, выражается через R и угловую скорость, таким образом:

    а = ν2/ R, подставляя сюда ν = ω* R, получим: а = ν2/ R = ω2* R.

    Это значит, чем больше радиус окружности, по которой движется точка В, тем больше значение её ускорения по модулю. Чем дальше расположена точка твердого тела от оси вращения, тем большее ускорение она имеет.

    Поэтому можно вычислять ускорения, модули скоростей необходимых точек тел и их положений в любой момент времени.

    Связь между угловой и линейной скоростями

    Понимание и умение пользоваться расчётами и не путаться в определениях помогут на практике вычислениям линейной и угловой скоростей, а также свободно переходить при расчётах от одной величины к другой.

    Как определить направление угловой скорости

    Направление скорости в физике можно определять двумя способами:

    1. Правило буравчика. Буравчик имеет правую резьбу (вращательное движение вправо при закручивании). Если вращать буравчик в направлении вращения тела, он будет завинчиваться (или вывинчиваться) в ту сторону, куда направлена угловая скорость.
    2. Правило правой руки. Представим, что взяли тело в правую руку. Следует направлять и вращать его туда, куда указывают четыре пальца. Отведенный в сторону большой палец покажет направление угловой скорости при этом вращении.

    Связь угловой и линейной скоростей

    На практике часто приходится проверять не только ту скорость, с какой изменяется угловое положение у вращающейся точки, но и скорость её самой применительно к линейному движению. В приведённом выше примере были сделаны расчёты для колеса – но колесо движется по дороге и либо вращается под действием скорости автомобиля, либо само ему эту скорость обеспечивает. Значит, каждая точка на поверхности колеса помимо угловой будет иметь и линейную скорость.

    Рассчитать её проще всего через радиус. Поскольку скорость зависит от времени (которым будет период обращения) и пройденного расстояния (которым является длина окружности), то, учитывая приведённые выше формулы, угловая и линейная скорость будут соотноситься так:

    • V – линейная скорость;
    • R – радиус.

    Из формулы очевидно, что чем больше радиус, тем выше и значение такой скорости. Применительно к колесу с самой большой скоростью будет двигаться точка на внешней поверхности протектора (R максимален), но вот точно в центре ступицы линейная скорость будет равна нулю.

    Угол поворота и период обращения

    Рассмотрим точку А на предмете, вращающимся вокруг своей оси. При обращении за какой-то период времени она изменит своё положение на линии окружности на определённый угол. Это угол поворота. Он измеряется в радианах, потому что за единицу берётся отрезок окружности, равный радиусу. Ещё одна величина измерения угла поворота – градус.

    Когда в результате поворота точка А вернётся на своё прежнее место, значит, она совершила полный оборот. Если её движение повторится n-раз, то говорят о некотором количестве оборотов. Исходя из этого, можно рассматривать 1/2, 1/4 оборота и так далее. Яркий практический пример этому – путь, который проделывает фреза при фрезеровании детали, закреплённой в центре шпинделя станка.

    Внимание! Угол поворота имеет направление. Оно отрицательное, когда вращение происходит по часовой стрелке и положительное при вращении против движения стрелки.

    Если тело равномерно продвигается по окружности, можно говорить о постоянной угловой скорости при перемещении, ω = const.

    В этом случае находят применения такие характеристики, как:

    Интересно. По известным данным, Юпитер обращается вокруг Солнца за 12 лет. Когда Земля за это время делает вокруг Солнца почти 12 оборотов. Точное значение периода обращения круглого гиганта – 11,86 земных лет.

    Ускорение, момент и связь их с массой

    Помимо приведённых выше величин, с вращением связано ещё несколько моментов. Учитывая же, сколько в автомобиле крутящихся деталей разного веса, их практическое значение нельзя не учесть.

    Равномерное вращение – это важная вещь. Вот только нет ни одной детали, которая бы всё время крутилась равномерно. Число оборотов любого крутящегося узла, от коленвала до колеса, всегда в конечном итоге растёт, а затем падает. И та величина, которая показывает, насколько выросли обороты, называется угловым ускорением. Поскольку она производная от угловой скорости, измеряется она в радианах на секунду в квадрате (как линейное ускорение – в метрах на секунду в квадрате).

    С движением и её изменением во времени связан и другой аспект – момент импульса. Если до этого момента мы могли рассматривать только чисто математические особенности движения, то здесь уже нужно учитывать то, что каждая деталь имеет массу, которая распределена вокруг оси. Он определяется соотношением начального положения точки с учётом направления движения – и импульса, то есть произведения массы на скорость. Зная момент импульса, возникающий при вращении, можно определить, какая нагрузка будет приходиться на каждую деталь при её взаимодействии с другой

    Циклическая частота вращения (обращения)

    Скалярная величина, измеряющая частоту вращательного движения, называется циклической частотой вращения. Это угловая частота, равная не самому вектору угловой скорости, а его модулю. Ещё её именуют радиальной или круговой частотой.

    Циклическая частота вращения – это количество оборотов тела за 2*π секунды.

    У электрических двигателей переменного тока это частота асинхронная. У них частота вращения ротора отстаёт от частоты вращения магнитного поля статора. Величина, определяющая это отставание, носит название скольжения – S. В процессе скольжения вал вращается, потому что в роторе возникает электроток. Скольжение допустимо до определённой величины, превышение которой приводит к перегреву асинхронной машины, и её обмотки могут сгореть.

    Устройство этого типа двигателей отличается от устройства машин постоянного тока, где токопроводящая рамка вращается в поле постоянных магнитов. Большое количество рамок вместил в себя якорь, множество электромагнитов составили основу статора. В трёхфазных машинах переменного тока всё наоборот.

    При работе асинхронного двигателя статор имеет вращающееся магнитное поле. Оно всегда зависит от параметров:

    Скорость вращения ротора состоит в прямом соотношении со скоростью магнитного поля статора. Поле создаётся тремя обмотками, которые расположены под углом 120 градусов относительно друг друга.

    Синхронные и асинхронные электромашины

    Двигатели переменного напряжения есть трёх типов: синхронные, угловая скорость ротора которых совпадает с угловой частотой магнитного поля статора; асинхронные – в них вращение ротора отстаёт от вращения поля; коллекторные, конструкция и принцип действия которых аналогичны двигателям постоянного напряжения.

    Синхронная скорость

    Скорость вращения электромашины переменного тока зависит от угловой частоты магнитного поля статора. Эта скорость называется синхронной. В синхронных двигателях вал вращается с той же быстротой, что является преимуществом этих электромашин.

    Для этого в роторе машин большой мощности есть обмотка, на которую подаётся постоянное напряжение, создающее магнитное поле. В устройствах малой мощности в ротор вставлены постоянные магниты, или есть явно выраженные полюса.

    Скольжение

    В асинхронных машинах число оборотов вала меньше синхронной угловой частоты. Эта разница называется скольжение «S». Благодаря скольжению в роторе наводится электрический ток, и вал вращается. Чем больше S, тем выше вращающий момент и меньше скорость. Однако при превышении скольжения выше определённой величины электродвигатель останавливается, начинает перегреваться и может выйти из строя. Частота вращения таких устройств рассчитывается по формуле на рисунке ниже, где:

    • n – число оборотов в минуту,
    • f – частота сети,
    • p – число пар полюсов,
    • s – скольжение.

    Формула расчёта скорости асинхронного двигателя

    Формула расчёта скорости асинхронного двигателя

    Такие устройства есть двух типов:

    • С короткозамкнутым ротором. Обмотка в нём отливается из алюминия в процессе изготовления;
    • С фазным ротором. Обмотки выполнены из провода и подключаются к дополнительным сопротивлениям.

    Регулировка частоты вращения

    В процессе работы появляется необходимость регулировки числа оборотов электрических машин. Она осуществляется тремя способами:

    • Увеличение добавочного сопротивления в цепи ротора электродвигателей с фазным ротором. При необходимости сильно понизить обороты допускается подключение не трёх, а двух сопротивлений;
    • Подключение дополнительных сопротивлений в цепи статора. Применяется для запуска электрических машин большой мощности и для регулировки скорости маленьких электродвигателей. Например, число оборотов настольного вентилятора можно уменьшить, включив последовательно с ним лампу накаливания или конденсатор. Такой же результат даёт уменьшение питающего напряжения;
    • Изменение частоты сети. Подходит для синхронных и асинхронных двигателей.

    Внимание! Скорость вращения коллекторных электродвигателей, работающих от сети переменного тока, не зависит от частоты сети.

Оцените статью
Рейтинг автора
4,8
Материал подготовил
Максим Коновалов
Наш эксперт
Написано статей
127
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий